乌鸦悖论

2018-10-15

乌鸦悖论,也叫做亨佩尔的乌鸦或亨佩尔悖论,是二十世纪四十年代德国逻辑学家卡尔·古斯塔夫·亨佩尔(Carl Gustav Hempel)为了说明归纳法违反直觉而提出的一个悖论。

亨佩尔给出了归纳法原理的一个例子:“所有乌鸦都是黑色的”的论断。我们可以出去观察成千上万只乌鸦,然后发现他们都是黑的。在每一次观察之后,我们对“所有乌鸦都是黑的”的信任度会逐渐提高。归纳法原理在这里看起来是合理的。

现在问题出现了。“所有乌鸦都是黑的” 的论断在逻辑上和“所有不是黑色的东西不是乌鸦”等价。如果我们观察到一只红苹果,它不是黑色的,也不是乌鸦,那么这次观察必会增加我们对“所有不是黑色的东西不是乌鸦”的信任度,因此更加确信“所有的乌鸦都是黑色的”!

其他一些哲学家质疑“等价原理”。也许红苹果能够增加我们对论断“所有不是黑色的东西不是乌鸦”的信任度,而不增加我们对 “所有乌鸦都是黑色的”信任。这个提议受到质疑,因为你不能对等价的两个命题有不同的信任度,如果你知道他们都是真的或都是假的。

这样一来,虽然“所有乌鸦都是黑色的”和“所有不是黑色的东西都不是乌鸦”这两个命题所拥有的信任度必须相等,但只有“黑色的乌鸦”才能同时增加两者的信任度,而“非黑色的非乌鸦”并不增加任何一个命题的信任度。

几千年以来,无数人观察了许多事物,比如地心引力法则,人们趋于相信其极可能是真理。这种类型的推理可以总结成“归纳法原理”:如果实例X 被观察到和论断 T 相符合,那么论断 T 正确的概率增加。

亨佩尔给出了归纳法原理的一个例子:“所有乌鸦都是黑色的”论断。我们可以出去观察成千上万只乌鸦,然后发现他们都是黑色的。在每一次观察之后,我们对“所有乌鸦都是黑色的”的信任度会逐渐提高。归纳法原理在这里看起来是合理的。

现在问题出现了。“所有乌鸦都是黑色的” 的论断在逻辑上和“所有不是黑色的东西不是乌鸦”等价。如果我们观察到一只红苹果,它不是黑色的,也不是乌鸦,那么这次观察必会增加我们对“所有不是黑色的东西不是乌鸦”的信任度,因此更加确信“所有的乌鸦都是黑色的”!这个问题被总结成:

★我从未见过紫色的牛,I never saw a purple cow

★但若我见到一头,But if I were to see one

★乌鸦皆黑的概率,Would the probability ravens are black

★更加可能是一么?Have a better chance to be one?


解决它和直觉的冲突,哲学家们提出了一些方法。美国逻辑学家纳尔逊·古德曼(Nelson Goodman)建议对我们的推理添加一些限制,比如永远不要考虑支持论断“所有P满足Q”且同时也支持“没有P满足非Q” 的实例。

其他一些哲学家质疑“等价原理”。也许红苹果能够增加我们对论断“所有不是黑色的东西不是乌鸦”的信任度,而不增加我们对 “所有乌鸦都是黑色的”信任。这个提议受到质疑,因为你不能对等价的两个命题有不同的信任度,如果你知道他们都是真的或都是假的。

古德曼,以及其后的威拉德·冯·奥曼·蒯因,使用术语“projectible predicate”来描述这些类似于“乌鸦”和“黑色”的命题, 所有这类命题是支持归纳推理法的;而“非projectible predicate”则为与之相反的后者,如“非黑”和“非乌鸦”这些命题并不支持归纳推理法。蒯因还提出一个需要证实的猜想:如果任何命题是projectible的;在无限物件组成的全集中,一个projectible的命题的补集永远是非projectible的。

这样一来,虽然“所有乌鸦都是黑色的”和“所有不是黑色的东西都不是乌鸦”这两个命题所拥有的信任度必须相等,但只有“黑色的乌鸦”才能同时增加两者的信任度,而“非黑色的非乌鸦”并不增加任何一个命题的信任度。

还有些哲学家认为其实这个命题是完全正确的,出错的是我们自己的逻辑。其实观察到一个红色的苹果确实会增加乌鸦都是黑色的可能性!这就相当于:如果有人把宇宙中所有不是黑的物体都给你看,而你发现所有的物体都不是乌鸦,那你就完全可以断定所有乌鸦都是黑色的了。这个“悖论”看上去荒谬只是因为宇宙中 “不是黑色的”物体远远多于“乌鸦”,所以发现一个“不是黑色的”物体只增加了极其微小的对于“乌鸦都是黑色的”的信任度,而相对而言,每发现一只黑色的乌鸦就是一个有力的证据了。

贝叶斯定理


除了以上的陈述以外,「归纳法原理」还有另一种形式,就是贝叶斯推理。

设 X 为支持论断 T 的一个实例,而 I 表示我们所有的已知信息。

T 成立的几率,已知 X 和 I 都是成立的,可以推得

这里 Pr(T | I) 表示在只有 I 是已知成立的情况下,T 成立的几率;Pr(X | TI) 表示在 T 和 I 都已知成立的情况下,X 成立的几率;而 Pr(X | I) 表示在只有 I 是已知成立的情况下,X 成立的几率.


如果有人随机选一个苹果,那么他看到一个红苹果的几率和「乌鸦」的颜色是完全没有关系的。这时分子等于分母,所以分数等于1,所以以上讨论的几率不会改变。所以看见一只红色的苹果不会增加人们对「乌鸦都是黑色的」的信任度。

而如果那人是随机选择一个非黑的物件,那个物件正好是一个红的苹果,那么我们会得到一个分子大于分母的,几乎等于一的假分数。所以在这个情况下,看见一只红苹果确实会极微小地增加我们对「乌鸦都是黑色的」的信任度。

其实,随着一个人看到的不是黑色的东西的增加(并发现其中没有乌鸦),「乌鸦都是黑色的」的几率会趋向于1。

综上所述,   无论是“乌鸦悖论”的一例一例寻求例证,或者是逻辑经验主义的强意义的正式还是弱意义的或然证实,它的主要目的都是寻找世界的确定性。


 易本道 www.daoj.net

执古之道以御今之有
Copyright By © 2019 www.daoj.net
归藏易文化 版权所有
闽ICP备18017809号